a) Đặt \(A\left(x\right)=x^4-9x^3+ax^2+x+b\)

Vì \(A\left(x\right)\) chia hết cho \(x^2-x-2\) nên :

\(A\left(x\right)=\left(x^2-x-2\right).Q\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow A\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+1\right)Q\left(x\right)\) (*)

Lần lượt thay \(x=2,x=-1\) vào (*) ta có :

\(\hept{\begin{cases}2^4-9.2^3+a.2^2+2+b=0\\\left(-1\right)^4-9.\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2.a+\left(-1\right)+b=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4a+b=54\\a+b=-9\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=21\\b=-30\end{cases}}\)

b) Đặt \(B\left(x\right)=x^3+ax+b\)

Vì \(B\left(x\right):\left(x+1\right)\) dư 7 nên : \(B\left(x\right)=\left(x+1\right).H\left(x\right)+7\)

Thay \(x=-1\) vào thì ta có : \(\left(-1\right)^3+a.\left(-1\right)+b=7\Leftrightarrow b-a=8\) (1)

Vì \(B\left(x\right):\left(x-3\right)\) dư -5 nên : \(B\left(x\right)=\left(x-3\right).G\left(x\right)-5\)

Thay \(x=3\) vào thì ta có : \(3^3+3a+b=-5\Leftrightarrow3a+b=-32\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\hept{\begin{cases}a=-10\\b=-2\end{cases}}\)

c) Đặt \(C\left(x\right)=ax^3+bx^2+c\)

Vì \(C\left(x\right)⋮x+2\Rightarrow C\left(x\right)=\left(x+2\right).Y\left(x\right)\)

Với \(x=-2\) thì \(\left(-2\right)^3.a+\left(-2\right)^2.b+c=0\)

\(\Leftrightarrow-8a+4b+c=0\) (3)

Lại có : \(C\left(x\right):\left(x^2-1\right)\) thì dư \(x+5\) nên :

\(C\left(x\right)=\left(x^2-1\right).K\left(x\right)+\left(x+5\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right).K\left(x\right)+x+5\)

Với \(x=1\) thì ta có : \(a+b+c=1+5=6\) (4)

Với \(x=-1\) thì ta có : \(-a+b+c=-1+5=4\) (5)

Từ (3) ; (4) và (5) suy ra : \(\hept{\begin{cases}-8a+4b+c=0\\a+b+c=6\\-a+b+c=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=4\end{cases}}}\)

\(f\left(x\right)=ax^3+bx+c\)

\(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=0\\f\left(1\right)=1+5=6\\f\left(-1\right)=-1+5=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-8a-2b+c=0\\a+b+c=6\\-a-b+c=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\frac{1}{2}\\c=5\end{cases}}\)

Bạn ơi a,b,c thỏa mãn 3 trường hợp luôn hay sao ah?